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不可思议的托勒密定理——证明

2020/6/24 0:45:12 来源:老胡说科学1 浏览:

托勒密是一位古代天文学家、地理学家和数学家。他最著名的是提出了“托勒密体系”的模型,地球被认为是宇宙的中心,恒星围绕着它旋转。这是许多世纪以来被普遍接受的观点,直到哥白尼提出了日心说。

尽管托勒密最著名的观点被证明是错误的,他在几何学上做了很多非常有用的工作,我们将讨论其中一个。

托勒密不等式

托勒密不等式的表述是:

它被称为三角形不等式。现在让我们看看如何证明它。

证明

让我们从画一个包含平面上4个点的图开始,作为一个四边形ABCD的顶点。

现在,我们在每条对角线上分别标记两个点X和Y进行构造,比如∠BAX =∠CAD,∠ABY =∠ACD(下图)。

接下来,我们考虑三角形ΔABE和ΔACD(下图):

注意到:

  • ∠ ABE = ∠ ACD (通过构造)
  • ∠ EAB = ∠ DAC (通过构造)

我们知道如果两个三角形的两个同位角相等,那么这样的三角形就叫做相似三角形。如果两个三角形相似,那么对应边的比值也相等。这意味着,

我们也可以用另一对边

同样的,我们考虑另一个三角形,ΔDAE和ΔCAB(下图)。

我们已经知道∠DAC =∠BAE。如果我们在方程两边都加上一个角,它不会有任何改变。所以两边同时加∠CAE就得到

但是,我们可以从图中看出,

  • ∠DAC +∠CAE =∠DAE
  • ∠BAE +∠CAE =∠CAB

因此,我们可以把(3)式改写为:

现在,看看方程(2)和(4),我们可以看到我们已经满足了相似三角形的要求。这就是所谓的边-角-边相似标准。

如果这些三角形(ΔDAE和ΔCAB)是相似的,我们可以得到等式:

最后,我们将方程(1)和(5)相加,得到:

本文的开头,我们提出了一个三角形不等式的存在,现在是使用它的时候了。

它指出:

对于任何三角形,任意两条边的长度之和必须大于或等于第三条边的长度


使用这个事实,ΔDEB在上面的图中,我们可以把:


因此,利用不等式(7),我们可以把等式(6)写成:

这就是我们想要证明的。

像这样的不等式在解决数学和物理中的一些难题时非常有效。下次,我们将解决一个非常有趣的现实世界问题,看看为什么这个定理是不可思议的!

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看看网友怎么说

新竹_2014:转发了

v36945758217:赞👍

v31843801578:不等式就是把等于改为大于等于,当且仅当共圆时取等。常见的应用是取对角线的中点能得到一组相似,挺巧的

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